高中数学必修1知识点：函数

时间：2026-07-30 14:07:06 高中数学

高中数学必修1知识点：函数

　　函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，指数函数、对数函数和幂函数是高中数学学习中三类重要而又常用的基本初等函数。小编整理了相关的内容，欢迎欣赏与借鉴。

高中数学必修1知识点：函数

　　函数概念与表示

　　课标要求：

　　1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；

　　2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；

　　3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；

　　4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；

　　5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

　　要点精讲：

　　1．函数的概念：

　　设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

　　注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

　　（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.

　　2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

　　（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：

　　①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；

　　②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；

　　③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

　　（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。

　　①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。

　　文章摘要：集合语言是现代数学的基本语言，它可以简洁、准确地表达数学内容；函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数思想贯穿了高中数学课程的始终，函数与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切；函数概念及其反映出的数学思想方法已经渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础。教材要求：了解…

　　3．两个函数的相等：

　　函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

　　4．区间

　　5．映射的概念

　　一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”.

　　函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。

　　注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。

　　（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

　　6．常用的函数表示法

　　（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；

　　（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

　　（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

　　7．分段函数

　　若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；

　　8．复合函数

　　若y=f(u)，u=g(x)，x?(a，b)，u?(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。

　　附注：1．求函数解析式的题型有：

　　（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

　　（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法；

　　（3）已知函数图像，求函数解析式；

　　（4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；

　　（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。

　　2．求函数定义域一般有三类问题：

　　（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；

　　（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；

　　（3）已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域：

　　①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；

　　②若已知f(x)的定义域[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由a≤g(x) ≤b解出。

　　3．求函数值域的各种方法

　　函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。

　　①直接法：利用常见函数的值域来求

　　一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；

　　反比例函数的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}；

　　二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为R，

　　当a>0时，值域为{}；

　　当a<0时，值域为{}。

　　②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：f(x)=ax2+bx+c,x∈(a,b)的形式；

　　③分式转化法（或改为“分离常数法”）

　　④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

　　⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

　　⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；

　　⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

　　⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

　　函数的基本性质

　　课标要求：

　　1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；

　　2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；

　　要点精讲：

　　1．函数的单调性

　　注意：（1）利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

　　1 任取x1，x2∈D，且x1

　　2 作差f(x1)－f(x2)；

　　3 变形（通常是因式分解和配方）；

　　4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

　　5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

　　（2）在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

　　2．最值

　　（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

　　最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

　　注意：1）函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；

　　2）函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）

　　（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：

　　1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；

　　2）利用图象求函数的最大（小）值；

　　3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

　　（3）函数的图象与性质

　　f(x)分别在、上为增函数，分别在、上为减函数。

　　2．奇偶性

　　注意：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

　　（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

　　1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

　　2）确定f(－x)与f(x)的关系；

　　3）作出相应结论：

　　若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

　　若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

　　（3）简单性质：

　　①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

　　②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域D上：

　　奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

　　4．周期性

　　（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数；

　　（2）性质：①f(x+T)= f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为.

　　附注：1．判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：；2．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称，这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立，函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；

　　3．若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；

　　4．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。

　　5．若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集。（参考教材：人教版必修1A版）

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