高中数学的教学设计

时间：2024-09-23 09:46:10 高中数学我要投稿

高中数学的教学设计【必备】

　　作为一名无私奉献的老师，通常会被要求编写教学设计，教学设计是连接基础理论与实践的桥梁，对于教学理论与实践的紧密结合具有沟通作用。写教学设计需要注意哪些格式呢？下面是小编整理的高中数学的教学设计，欢迎阅读与收藏。

高中数学的教学设计【必备】

高中数学的教学设计1

　　一、教学内容分析:

　　本节教材选自人教a版数学必修②第二章第一节课，本节内容在立几学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。

　　二、学生学习情况分析：

　　任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。

　　三、设计思想

　　本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。

　　四、教学目标

　　通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

　　五、教学重点与难点

　　重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。

　　六、教学过程设计

　　(一)知识准备、新课引入

　　提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面?有哪几种位置关系?并完成下表：(多媒体幻灯片演示) a??

　　提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗?谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。

　　[设计意图：通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理作好准备。]

　　(二)判定定理的探求过程

　　1、直观感知

　　提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗?

　　生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。

　　生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。

　　[学情预设：此处的预设与生成应当是很自然的，但老师要预见到可能出现的情况如电线杆与墙面可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。]

　　2、动手实践

　　教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师(视为线)与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师(视为线)与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师(视为线)与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示)。

　　[设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质。]

　　3、探究思考

　　(1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同?关键是什么因素起了作用呢?通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线②我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为平面内一条直线③这两条直线平行

　　(2)如果平面外的直线a与平面?内的一条直线b平行，那么直线a与平面?平行吗?

　　4、归纳确认：(多媒体幻灯片演示)

　　直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。

　　简单概括：(内外)线线平行?线面平行a符号表示：ba||? a||b??

　　温馨提示：

　　作用：判定或证明线面平行。

　　关键：在平面内找(或作)出一条直线与面外的直线平行。

　　思想：空间问题转化为平面问题

　　(三)定理运用，问题探究(多媒体幻灯片演示)

　　1、想一想：

　　(1)判断下列命题的真假?说明理由：

　　①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行()

　　②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行( )

　　③一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行( )

　　(2)若直线a与平面?内无数条直线平行，则a与?的位置关系是( ) a、a ||? b、a?? c、a ||?或a?? d、a?? [学情预设：设计这组问题目的是强调定理中三个条件的重要性，同时预设(1)中的③学生可能认为正确的，这样就无法达到老师的预设与生成的目的，这时教师要引导学生思考，让学生想象的空间更广阔些。此外教师可用预先准备好的羊毛针与泡沫板进行演示，让羊毛针穿过泡沫板以举不平行的反例，如果有的学生空间想象力强，能按老师的要求生成正确的结果则就由个别学生进行演示。]

　　2、作一作：

　　设a、b是二异面直线，则过a、b外一点p且与a、b都平行的平面存在吗?若存在请画出平面，不存在说明理由?

　　先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。

　　[设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了拓展加深对定理的认识，更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。]

　　3、证一证：

　　例1(见课本60页例1)：已知空间四边形abcd中，e、f分别是ab、ad的中点，求证：ef ||平面bcd。

　　变式一：空间四边形abcd中，e、f、g、h分别是边ab、bc、cd、da中点，连结ef、fg、gh、he、ac、bd请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情况。(共6组线面平行)变式二：在变式一的图中如作pq?ef，使p点在线段ae上、q点在线段fc上，连结ph、qg，并继续探究图中所具有的线面平行位置关系?(在变式一的基础上增加了4组线面平行)，并判断四边形efgh、pqgh分别是怎样的四边形，说明理由。

　　[设计意图：设计二个变式训练，目的是通过问题探究、讨论，思辨，及时巩固定理，运用定理，培养学生的识图能力与逻辑推理能力。]例2：如图，在正方体abcd—a1b1c1d1中，e、f分别是棱bc与c1d1中点，求证：ef ||平面bdd1b1分析：根据判定定理必须在平

　　面bdd1b1内找(作)一条线与ef平行，联想到中点问题找中点解决的方法，可以取bd或b1d1中点而证之。

　　思路一：取bd中点g连d1g、eg，可证d1gef为平行四边形。

　　思路二：取d1b1中点h连hb、hf，可证hfeb为平行四边形。

　　[知识链接：根据空间问题平面化的思想，因此把找空间平行直线问题转化为找平行四边形或三角形中位线问题，这样就自然想到了找中点。平行问题找中点解决是个好途径好方法。这种思想方法是解决立几论证平行问题，培养逻辑思维能力的重要思想方法]

　　4、练一练：

　　练习1：见课本6页练习1、2

　　练习2：将两个全等的正方形abcd和abef拼在一起，设m、n分别为ac、bf中点，求证：mn ||平面bce。

　　变式：若将练习2中m、n改为ac、bf分点且am = fn，试问结论仍成立吗?试证之。

　　[设计意图：设计这组练习，目的是为了巩固与深化定理的运用，特别是通过练习2及其变式的训练，让学生能在复杂的图形中去识图，去寻找分析问题、解决问题的途径与方法，以达到逐步培养空间感与逻辑思维能力。]

　　(四)总结

　　先由学生口头总结，然后教师归纳总结(由多媒体幻灯片展示)：

　　1、线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行。

　　2、定理的符号表示：ba||? a||b??简述：(内外)线线平行则线面平行

　　3、定理运用的.关键是找(作)面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。

　　七、教学反思

　　本节“直线与平面平行的判定”是学生学习空间位置关系的判定与性质的第一节课，也是学生开始学习立几演泽推理论述的思维方式方法，因此本节课学习对发展学生的空间观念和逻辑思维能力是非常重要的。

　　本节课的设计遵循“直观感知——操作确认——思辩论证”的认识过程，注重引导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动，从多角度认识直线和平面平行的判定方法，让学生通过自主探索、合作交流，进一步认识和掌握空间图形的性质，积累数学活动的经验，发展合情推理、发展空间观念与推理能力。

　　本节课的设计注重训练学生准确表达数学符号语言、文字语言及图形语言，加强各种语言的互译。比如上课开始时的复习引入，让学生用三种语言的表达，动手实践、定理探求过程以及定理描述也注重三种语言的表达，对例题的讲解与分析也注意指导学生三种语言的表达。

　　本节课对定理的探求与认识过程的设计始终贯彻直观在先，感知在先，学自己身边的数学，感知生活中包涵的数学现象与数学原理，体验数学即生活的道理，比如让学生举生活中能感知线面平行的例子，学生会举出日光灯与天花板，电线杆与墙面，转动的门等等，同时老师的举例也很贴进生活，如老师直立时与四周墙面平行，而向前、向后倾斜则只与左右墙面平行，而向左、右倾斜则与前后黑板面平行。然后引导学生从中抽象概括出定理。

高中数学的教学设计2

　　教学准备

　　教学目标

　　1、掌握平面向量的数量积及其几何意义；

　　2、掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

　　3、了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；

　　4、掌握向量垂直的条件。

　　教学重难点

　　教学重点：平面向量的数量积定义

　　教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的`理解和平面向量数量积的应用

　　教学过程

　　1、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，

　　则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，（0≤θ≤π）。

　　并规定0向量与任何向量的数量积为0。

　　×探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？

　　2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？

　　（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定。

　　（2）两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替。

　　（3）在实数中，若a？0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a？0，且a×b=0，不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0。

高中数学的教学设计3

　　片段一：

　　师：“3×4”读作什么?生1：“3×4”读作“3乘4”。生2：“3×4”读作“3乘4”。全体学生：“3×4”读作“3乘4”。课堂巩固练习：“3x4读作――”，巡视发现学生写的答案是各种各样：有“三乘四”，“三×四”，“3×4”。等等。

　　片段：

　　师：“3×4”读作什么?生1：“3×4”读作“3乘4”。生2：“3×4”读作“3乘4”。

　　师：立刻在“3×4”算式的旁边示范性板书：“读作：3乘4”。

　　全体学生边看老师的板书边读：“3×4”读作“3乘4”。

　　课堂巩固练习：“3×4读作――”，巡视发现学生的答案，几乎全是“3乘4”。

　　这两组教学片段的教学设计几乎相同，两个班级学生的学习情况与教师教学水平也没有明显差异，主要差异只有一处――片段二中教师板书：“3×4”读作“3乘4”。并且片段二中教师适当地对学生回答问题的方式加以了引导：“那你们谁能用数学语言的方式把这道文字题用算式来体现呢?”并在学生表述时适当地配合了板书。由巩固练习可以看出。这两点差异产生的教学效果却大相径庭，两个片段的教学有效性为何相差如此之大?有必要对此进行检视与反思。

　　下面试从课堂教学有效性的“三效”角度对两组教学片段进行比较分析，以探析提高数学课堂教学有效性的方法策略。

　　一、片段二比片段一的教学效果大。教学有效果是指教学活动结果中与预期教学目标相一致的部分，它着重考察的对象是学生，是对教学活动结果与预期教学目标吻合程度的评价。

　　片段一中的知识目标是在理解“3×4”的意义下会读写“3×4”，在数学符号语言“3×4”与自然语言“3乘4”之间建立对应关系，属于陈述性知识的学习。在片段一中教师仅让学生口头说“‘3×4’读作‘3乘4’”并进行重复，由于语音“eheng”有多种表示形式，教师没有给学生明确示范用“3乘4”表示，学生根据语音，写出“三乘四”，“三×四”或“3×4”等是有其合理性的，这属于教学引起的合理性错误，在教学设计中教师要注意避免歧义的产生，避免由于教学设计的不当导致教学效果的缩减。片段=中教师通过板书给出清晰的`表示形式，学生不会再出错，使教学的效果大大增加。

　　二、片段二比片段一的教学效率高。教学效率是指单位教学投入所获得的教学产出。由于教学活动本身也可以看作是一种精神性的生产活动，可借用经济学的概念将教学效率表述为：教学效率=教学产出／教学投人。

　　片段一仅仅是学生听、读，说。片段二在学生听、读、说的同时教师随即板书。因此，从以上两个教学片段本身分析可知。二者在教学投入上几乎没有什么差别，而从学生对知识掌握的情况来看，片段二的教学产出要比片段一的多。所以由公式：教学效率=教学产出／教学投入可知，片段二的教学效率比片段一的高。

　　片段二中教师明确地在黑板上给出了板书示范，让学生在听的同时可以通过看板书来使获得的信息更加深刻。板书的示范增加了学生通过视觉获得信息的通道，而这一通道相对来说具有更高的效率。

　　三、片段二比片段一的教学效益好。教学效益指的是教学活动的收益、教学活动价值的实现，具体而言是指教学目标与特定的社会和个人的教学需求是否吻合以及吻合程度的评价。

高中数学的教学设计4

　　一、探究式教学模式概述

　　1、探究式教学模式的含义。探究式教学就是学生在教师引导下，像科学家发现真理那样以类似科学探究的方式来展开学习活动，通过自己大脑的独立思考和探究，去弄清事物发展变化的起因和内在联系，从中探索出知识规律的教学模式。它的基本特征是教师不把跟教学内容有关的内容和认知策略直接告诉学生，而是创造一种适宜的认知和合作环境，让学生通过探究形成认知策略，从而对教学目标进行一种全方位的学习，实现学生从被动学习到主动学习，培养学生的科学探究能力、创新意识和科学精神。可见，探究式教学主张把学习知识的过程和探究知识的过程统一起来，充分发挥学生学习的自主性和参与性。

　　2、堂探究式教学的实质。课堂探究式教学的实质是使学生通过类似科学家科学探究的过程来理解科学探究概念和科学规律的本质，并培养学生的科学探究能力。具体地说，它包括两个相互联系的方面：一是有一个以“学”为中心的探究性学习环境。在这个环境中有丰富的教学资源，而且这些资源是围绕某个知识主题来展开的。这个学习环境具有民主和谐的课堂气氛，它使学生很少感到有压力，能自主寻找所需要的信息，提出自己的设想，并以自己的方式检验其设想。二是教师可以给学生提供必要的帮助和指导，使学生在研究中能明确方向。这说明探究式教学的本质特征是不直接把与教学目标有关的概念和认知策略告诉学生，取而代之的是教师创造出一种智力交流和社会交往的环境，让学生通过探究自己发现规律。

　　3、探究式教学模式的特征。

　　（1）问题性。问题性是探究式教学模式的关键。能否提出对学生具有挑战性和吸引力的问题，使学生产生问题意识，是探究教学成功与否的关键所在。恰当的问题会激起学生强烈的学习愿望，并引发学生的求异思维和创造思维。现代教育心理学研究提出：“学生的学习过程和科学家的探索过程在本质上是一样的，都是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程。”所以培养学生的问题意识是探究式教学的重要使命。

　　（2）过程性。过程性是探究式教学模式的重点。爱因斯坦说：“结论总以完成的形式出现，读者体会不到探索和发现的喜悦，感觉不到思想形成的生动过程，也就很难达到清楚、全面理解的境界。”探究式教学模式正是考虑到这些人的认知特点来组织教学的，它强调学生探索知识的经历和获得新知识的亲身感悟。

　　（3）开放性。开放性是探究式教学模式的难点。探究式教学模式总是综合合作学习、发现学习、自主学习等学习方式的长处，培养学生良好的学习态度和学习方法，提倡和发展多样化的学习方式。探究式教学模式要面对大量开放性的问题，教学资源和探究的结论面对生活、生产和科研是开放的，这一切都为教师的教与学生的学带来了机遇与挑战。

　　二、教学设计案例

　　1、教学内容：数字排列中3、9的探究式教学。

　　2、教学目标。

　　（1）知识与技能：掌握数字排列的知识，能灵活运用所学知识。

　　（2）过程与方法：在探究过程中掌握分析问题的方法和逻辑推理的方法。

　　（3）情感态度与价值观：培养学生观察、分析、推理、归纳等综合能力，让学生体会到认识客观规律的一般过程。

　　3、教学方法：谈话探究法，讨论探究法。

　　4、教学过程。

　　（1）创设情境。教师：在高中数学第十章的教学中，有关数字排列的问题占有重要位置。我们曾经做过的有关数字排列的题目，如“由若干个数字排列成偶数”、“能被5整除的数”等问题，只要使排列成的数的个位数字为偶数，则这个数就是偶数，当排列成的数的个位数字为0或5时，则这个数就能被5整除。那么能被3整除的数，能被9整除的数有何特点？

　　（2）提出问题。

　　问题1：在用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中，是9的倍数的共有（）

　　A、36个B、18个C、12个D、24个

　　问题2：在用0、1、2、3、4、5这六个数字组成没有重复数字的自然数中，有多少个能被6整除的五位数？

　　（3）探究思考。点评：乍一看问题1，对于由若干个数字排列成9的倍数的问题，如：81、72、63、54、45、36、27、18、9这些能够被9整除的数的个位数字依次是1、2、3、4、5、6、7、8、9。因此，要考察能被9整除的数，不能只考虑个位数字了。于是，需另辟蹊径，探究能被9整除的数的`特点，寻求解决问题的途径。

　　教师：同学们观察81、72、63、54、45、36、27、18、9这些数，甚至再写出几个能被9整除的数，如981、1872等，看看它们有何特点？

　　学生：它们都满足“各位数字之和能被9整除”。

　　教师：此结论的正确性如何？

　　学生：老师，我们证明此结论的正确性，好吗？

　　教师：好。

　　学生：证明：不妨以n是一个四位数为例证之。

　　设n=1000a+100b+10c+d（a，b，c，d∈N）依条件，有a+b+c+d=9m（m∈N）

　　则n=1000a+100b+10c+d

　　=（999a+a）+（99b+b）+（9c+c）+d

　　=（999a+99b+9c）+（a+b+c+d）

　　=9（111a+11b+c）+9m

　　=9（111a+11b+c+m）

　　∵ a，b，c，m∈N

　　∴ 111a+11b+c+m∈N

　　所以n能被9整除

　　同理可证定理的后半部分。

　　教师：看来上述结论正确。所以得到如下定理。

　　定理：如果一个自然数n各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数n就能够被9整除；如果一个自然数n各个数位上的数字之和能被3整除，那么这个数n就能够被3整除。

　　教师：利用该定理可解决“能被3、9整除”的数字排列问题，请同学们先解答问题1。

　　学生：尝试1+4+5+6=16，1+3+4+5=13，2+3+4+5=14，2+4+5+6=17，1+2+3+4=10，1+2+5+6=14。

　　教师：启发学生观察这些数字有何特点？提问学生。

　　学生：可以看出只要从1、2、3、4、5、6这六个数中，选取的四个数字中含1（或2），或者同时含1、2，选取的四个数字之和都不是9的倍数。

　　教师：请学生们继续尝试选取其他数字试一试。

　　学生：3+4+5+6=18是9的倍数。

　　教师：因此用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中，是9的倍数的数，就是由3、4、5、6进行全排列所得，共有=24（个）。

　　故应选D。

　　（4）学以致用。

　　问题2：在用0、1、2、3、4、5这六个数字组成没有重复数字的自然数中，有多少个能被6整除的五位数？

　　教师：从上面的定理知：如果一个自然数n各个数位上的数字之和能被3整除，那么这个数n就能够被3整除。同学们对问题2有何想法？

　　学生讨论：

　　学生1：被6整除的五位数必须既能被2整除，又能被3整除，故能被6整除的五位数，即为各位数字之和能被3整除的五位偶数。

　　学生2：由于1+2+3+4+5=15，能被3整除，所以选取的5个数字可分两类：一类是5个数字中无0，另一类是5个数字中有0（但不含3）。

　　学生3：第一类：5个数字中无0的五位偶数有。

　　第二类：5个数字中含有0不含3的五位偶数有两类，第一，0在个位有个；第二，个位是2或4有，所以共有+ 。

　　学生4：由分类计数原理得：能被6整除的无重复数字的五位数共有+ + =108（个）。

　　（5）概括强化。

　　重点：了解数字排列问题的特点，理解掌握数字排列中3、9问题的规律。

　　难点：数字排列知识的灵活应用。

　　关键：证明的思路以及定理的得出。

　　新学知识与已知知识之间的区别和联系：已知知识“由若干个数字排列成偶数”、“能被5整除的数”等问题，只要使排列成的数的个位数字为偶数，则这个数就是偶数，当排列成的数的个位数字为0或5时，则这个数就能被5整除”。新学知识“如果一个自然数n各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数n就能够被9整除；如果一个自然数n各个数位上的数字之和能被3整除，那么这个数n就能够被3整除。都是数字排列知识，要学会灵活应用。

　　（6）作业。请同学们自拟练习题，以求达到熟练解决此类问题的目的。

　　总之，探究式教学模式是针对传统教学的种种弊端提出来的，新课程改革强调改变课程过于注重知识的传授和过于强调接受式学习的状况，倡导学生主动参与乐于探究、勤于动手，让学生经历科学探究过程，学习科学研究方法，并强调获得知识、技能的过程成为学会学习和形成价值观的过程，以培养学生的探究精神、创新意识和实践能力。

高中数学的教学设计5

　　教学目标

　　1.掌握等比数列前项和公式，并能运用公式解决简单的问题.

　　（1）理解公式的推导过程，体会转化的思想；

　　（2）用方程的思想认识等比数列前项和公式，利用公式知三求一；与通项公式结合知三求二；

　　2.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.

　　3.通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.

　　教学建议

　　教材分析

　　（1）知识结构

　　先用错位相减法推出等比数列前项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前项和.

　　（2）重点、难点分析

　　教学重点、难点是等比数列前项和公式的推导与应用.公式的'推导中蕴含了丰富的数学思想、方法（如分类讨论思想，错位相减法等），这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意和两种情况.

　　教学建议

　　（1）本节内容分为两课时，一节为等比数列前项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.

　　（2）等比数列前项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论.

　　（3）等比数列前项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣.

　　（4）编拟例题时要全面，不要忽略的情况.

　　（5）通项公式与前项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大.

　　（6）补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.

　　教学设计示例

　　课题：等比数列前项和的公式

　　教学目标

　　（1）通过教学使学生掌握等比数列前项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前项和.

　　（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.

　　（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.

　　教学重点，难点

　　教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路.

　　教学用具

　　幻灯片，课件，电脑.

　　教学方法

　　引导发现法.

　　教学过程

　　一、新课引入：

　　（问题见教材第129页）提出问题：（幻灯片）

　　二、新课讲解：

　　记，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.

　　（板书）即，①

　　，②

　　②－①得即.

　　由此对于一般的等比数列，其前项和，如何化简？

　　（板书）等比数列前项和公式

　　仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比，即

　　（板书）③两端同乘以，得

　　④，

　　③－④得⑤，（提问学生如何处理，适时提醒学生注意的取值）

　　当时，由③可得（不必导出④，但当时设想不到）

　　当时，由⑤得.

　　于是

　　反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.

　　（板书）例题：求和：.

　　设，其中为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.

　　解：，

　　两端同乘以，得，

　　两式相减得

　　于是.

　　说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.

　　公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.

　　三、小结：

　　1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；

　　2.用错位相减法求一些数列的前项和.

　　四、作业：略

高中数学的教学设计6

　　教学目标

　　1.明确等差数列的定义.

　　2.掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题

　　3.培养学生观察、归纳能力.

　　教学重点

　　1. 等差数列的概念;

　　2. 等差数列的通项公式

　　教学难点

　　等差数列“等差”特点的理解、把握和应用

　　教具准备

　　投影片1张

　　教学过程

　　(I)复习回顾

　　师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。(放投影片)

　　(Ⅱ)讲授新课

　　师：看这些数列有什么共同的特点?

　　1，2，3，4，5，6; ①

　　10，8，6，4，2，…; ②

　　生：积极思考，找上述数列共同特点。

　　对于数列①(1≤n≤6);(2≤n≤6)

　　对于数列②-2n(n≥1)(n≥2)

　　对于数列③(n≥1)(n≥2)

　　共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

　　师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。

　　一、定义：

　　等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

　　如：上述3个数列都是等差数列，它们的'公差依次是1，-2，。

　　二、等差数列的通项公式

　　师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：

　　若将这n-1个等式相加，则可得：

　　即：即：即：……

　　由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。

　　如数列①(1≤n≤6)

　　数列②：(n≥1)

　　数列③：(n≥1)

　　由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解

　　例1：(1)求等差数列8，5，2…的第20项

　　(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项?如果是，是第几项?

　　解：(1)由n=20，得(2)由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。

　　(Ⅲ)课堂练习

　　生：(口答)课本P118练习3

　　(书面练习)课本P117练习1

　　师：组织学生自评练习(同桌讨论)

　　(Ⅳ)课时小结

　　师：本节主要内容为：①等差数列定义。

　　即(n≥2)

　　②等差数列通项公式 (n≥1)

　　推导出公式：(V)课后作业

　　一、课本P118习题3.2 1，2

　　二、1.预习内容：课本P116例2P117例4

　　2.预习提纲：

　　①如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题?

　　②等差数列有哪些性质?

高中数学的教学设计7

　　一、单元教学内容

　　（１）算法的基本概念

　　（２）算法的基本结构：顺序、条件、循环结构

　　（３）算法的基本语句：输入、输出、赋值、条件、循环语句

　　二、单元教学内容分析

　　算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中，学生将在中学教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力

　　三、单元教学课时安排：

　　１、算法的基本概念３课时

　　２、程序框图与算法的基本结构５课时

　　３、算法的基本语句２课时

　　四、单元教学目标分析

　　１、通过对解决具体问题过程与步骤的分析体会算法的思想，了解算法的含义

　　２、通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环结构。

　　３、经历将具体问题的.程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句：输入、输出、斌值、条件、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

　　４、通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

　　五、单元教学重点与难点分析

　　１、重点

　　（１）理解算法的含义

　　（２）掌握算法的基本结构

　　（３）会用算法语句解决简单的实际问题

　　２、难点

　　（１）程序框图

　　（２）变量与赋值

　　（３）循环结构

　　（４）算法设计

　　六、单元总体教学方法

　　本章教学采用启发式教学，辅以观察法、发现法、练习法、讲解法。采用这些方法的原因是学生的逻辑能力不是很强，只能通过对实例的认真领会及一定的练习才能掌握本节知识。

　　七、单元展开方式与特点

　　１、展开方式

　　自然语言→程序框图→算法语句

　　２、特点

　　（１）螺旋上升分层递进

　　（２）整合渗透前呼后应

　　（３）三线合一横向贯通

　　（４）弹性处理多样选择

　　八、单元教学过程分析

　　1.算法基本概念教学过程分析

　　对生活中的实际问题通过对解决具体问题过程与步骤的分析（喝茶，如二元一次方程组求解问题），体会算法的思想，了解算法的含义，能用自然语言描述算法。

　　2.算法的流程图教学过程分析

　　对生活中的实际问题通过模仿、操作、探索，经历通过设计流程图表达解决问题的过程，了解算法和程序语言的区别；在具体问题的解决过程中，理解流程图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环，会用流程图表示算法。

　　3.基本算法语句教学过程分析

　　经历将具体生活中问题的流程图转化为程序语言的过程，理解表示的几种基本算法语句：赋值语句、输入语句、输出语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。能用自然语言、流程图和基本算法语句表达算法，4.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

　　九、单元评价设想

　　1、重视对学生数学学习过程的评价

　　关注学生在数学语言的学习过程中，是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题充满兴趣；在学习过程中，能否体会集合语言准确、简洁的特征；是否能积极、主动地发展自己运用数学语言进行交流的能力。

　　2、正确评价学生的数学基础知识和基本技能

　　关注学生在本章（节）及今后学习中，让学生集中学习算法的初步知识，主要包括算法的基本结构、基本语句、基本思想等。算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分，在其他相关部分还将进一步学习算法

高中数学的教学设计8

　　一、单元教学内容

　　(1)算法的基本概念

　　(2)算法的基本结构：顺序、条件、循环结构

　　(3)算法的基本语句：输入、输出、赋值、条件、循环语句

　　二、单元教学内容分析

　　算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中，学生将在中学教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用;通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程;体会算法的基本思想以及算法的`重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。

　　三、单元教学课时安排：

　　1、算法的基本概念3课时

　　2、程序框图与算法的基本结构5课时

　　3、算法的基本语句2课时

　　四、单元教学目标分析

　　1、通过对解决具体问题过程与步骤的分析体会算法的思想，了解算法的含义

　　2、通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环结构。

　　3、经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句：输入、输出、斌值、条件、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

　　4、通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

　　五、单元教学重点与难点分析

　　1、重点

　　(1)理解算法的含义

　　(2)掌握算法的基本结构

　　(3)会用算法语句解决简单的实际问题

　　2、难点

　　(1)程序框图

　　(2)变量与赋值

　　(3)循环结构

　　(4)算法设计

　　六、单元总体教学方法

　　七、单元展开方式与特点

　　1、展开方式

　　自然语言→程序框图→算法语句

　　2、特点

　　(1)螺旋上升分层递进

　　(2)整合渗透前呼后应

　　(3)三线合一横向贯通

　　(4)弹性处理多样选择

　　八、单元教学过程分析

　　1、算法基本概念教学过程分析

　　对生活中的实际问题通过对解决具体问题过程与步骤的分析(喝茶，如二元一次方程组求解问题)，体会算法的思想，了解算法的含义，能用自然语言描述算法。

　　2、算法的流程图教学过程分析

　　对生活中的实际问题通过模仿、操作、探索，经历通过设计流程图表达解决问题的过程，了解算法和程序语言的区别;在具体问题的解决过程中，理解流程图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环，会用流程图表示算法。

　　3、基本算法语句教学过程分析

　　经历将具体生活中问题的流程图转化为程序语言的过程，理解表示的几种基本算法语句：赋值语句、输入语句、输出语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。能用自然语言、流程图和基本算法语句表达算法，4、通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

　　九、单元评价设想

　　1、重视对学生数学学习过程的评价

　　关注学生在数学语言的学习过程中，是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题充满兴趣;在学习过程中，能否体会集合语言准确、简洁的特征;是否能积极、主动地发展自己运用数学语言进行交流的能力。

　　2、正确评价学生的数学基础知识和基本技能

　　关注学生在本章(节)及今后学习中，让学生集中学习算法的初步知识，主要包括算法的基本结构、基本语句、基本思想等。算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分，在其他相关部分还将进一步学习算法

高中数学的教学设计9

　　一、学习目标与任务

　　1、学习目标描述

　　知识目标

　　(A)理解和掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义，并能应用第一定义和第二定义来解题。

　　(B)了解圆锥曲线与现实生活中的联系，并能初步利用圆锥曲线的知识进行知识延伸和知识创新。

　　能力目标

　　(A)通过学生的操作和协作探讨，培养学生的实践能力和分析问题、解决问题的能力。

　　(B)通过知识的再现培养学生的创新能力和创新意识。

　　(C)专题网站中提供各层次的例题和习题，解决各层次学生的学习过程中的各种的需要，从而培养学生应用知识的能力。

　　德育目标

　　让学生体会知识产生的全过程，培养学生运动变化的辩证唯物主义思想。

　　2、学习内容与学习任务说明

　　本节课的内容是圆锥曲线的第一定义和圆锥曲线的统一定义，以及利用圆锥曲线的定义来解决轨迹问题和最值问题。

　　学习重点：圆锥曲线的第一定义和统一定义。

　　学习难点：圆锥曲线第一定义和统一定义的应用。

　　明确本课的重点和难点，以学习任务驱动为方式，以圆锥曲线定义和定义应用为中心，主动操作实验、大胆分析问题和解决问题。

　　抓住本节课的重点和难点，采取的基于学科专题网站下的三者结合的教学模式，突出重点、突破难点。

　　充分利用《圆锥曲线》专题网站内的内容，在着重学习内容的基础上，内延外拓，培养学生的创新精神和克服困难的信心。

　　二、学习者特征分析

　　（说明学生的学习特点、学习习惯、学习交往特点等）

　　l本课的学习对象为高二下学期学生，他们经过近两年的高中学习，已经有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，基本的计算机操作较为熟练。

　　高二年下学期学生由于高考的压力，他们保持着传统教学的学习习惯，在

　　l课堂上的主体作用的体现不是太充分，但是如果他们还是乐于尝试、勇于探索的。

　　高二年的学生在学习交往上“个别化学习”和“协作讨论学习”并存，也就是说学生是具有一定的群体性小组交流能力与协同讨论学习能力的，还是能完成上课时教师布置的协作学习任务的。

　　三、学习环境选择与学习资源设计

　　1．学习环境选择（打√）

　　（1）Web教室（√）（2）局域网（3）城域网（4）校园网（√）（5）Internet（√）

　　（6）其它

　　2、学习资源类型（打√）

　　（1）课件（网络课件）（√）（2）工具（3）专题学习网站（√）（4）多媒体资源库

　　（5）案例库（6）题库（7）网络课程（8）其它

　　3、学习资源内容简要说明

　　（说明名称、网址、主要内容等）

　　《圆锥曲线专题网站》：从自然与科技、定义与应用、性质与实践和创新与未来四个方面围绕圆锥曲线进行探讨与研究。(IP：192.168.3.134)

　　用Flash5、几何画板和Authorware6制作可操作且具有交互性的网络课件放在专题网站里。

　　四、学习情境创设

　　1、学习情境类型（打√）

　　（1）真实性情境（√）（2）问题性情境（√）

　　（3）虚拟性情境（√）（4）其它

　　2、学习情境设计

　　真实性情境：用Flash5制作的一系列教学软件。用几何画板制作的《圆锥曲线的统一定义》的教学软件。

　　问题性情境：圆锥曲线的截取方法、圆锥曲线的各种定义、典型例题。

　　虚拟性情境：Authorware6制作的《圆锥曲线的截取》，模拟曲线截取。

　　五、学习活动的组织

　　1、自主学习设计（打√并填写相关内容）

　　(1)抛锚式

　　(2)支架式（√）相应内容:圆锥曲线的第一定义和统一定义。

　　使用资源:数学教材、专题网站及专题网站下的多媒体教学软件。

　　学生活动:分析、操作、协作讨论、总结、提交结论。

　　教师活动：问题的提出。学习资源获取路径的指导。问题解答和咨询。

　　(3)随机进入式（√）相应内容:圆锥曲线定义的典型应用。

　　使用资源:轨迹问题、最值问题、其它问题三种典型例题以及各个题目的动画演示和答案。

　　学生活动:根据自身情况选题、分析题目、协作讨论、解答题目。

　　教师活动：讲解例题，总结点评学生做题过程中的问题。

　　(4)其它

　　2、协作学习设计（打√并填写相关内容）

　　（1）竞争

　　（2）伙伴（√）

　　相应内容：圆锥曲线的第一定义和统一定义

　　使用资源：数学教材、专题网站及专题网站下的多媒体教学软件。

　　分组情况：每组三人

　　学生活动：学生之间对圆锥曲线的定义展开讨论，从而达到对定义的理解和掌握。

　　教师活动：问题的提出。学习资源获取路径的指导。问题解答和咨询。

　　（3）协同（√）

　　相应内容：圆锥曲线定义的典型应用。

　　使用资源：轨迹问题、最值问题、其它问题三种典型例题以及各个题目的.动画演示和答案。

　　分组情况：每组三人。

　　学生活动：通过协作讨论区，同学之间互相配合、互相帮助、各种观点互相补充。

　　教师活动：总结点评学生做题过程中的问题。

　　（4）辩论

　　（5）角色扮演

　　（6）其它

　　4、教学结构流程的设计

　　六、学习评价设计

　　1、测试形式与工具（打√）

　　（1）堂上提问（√）（2）书面练习（3）达标测试（4）学生自主网上测试（√）（5）合作完成作品（6）其它

　　2、测试内容

　　教师堂上提问：圆锥曲线的定义、学生提交的结论的完整性、学生协作讨论时的疑问、例题讲解过程中问题，课堂总结。

　　学生自主网上测试：解决轨迹问题、最值问题、其它问题三种典型题目。

　　(附)圆锥曲线专题网站设计分析

　　(1)设计思路

　　(A)给学生操作与实践的机会：在每一环节中建设一个可供学生操作的实验平台。

　　(B)突出教学中“主导和主体”的作用：在每一环节中建设一个可供师生交流的平台。

　　(C)突出知识的再创新过程和知识的延伸：如圆锥曲线的作法和知识的创新与应用。

　　(D)强调教学软件的交互性：如在题目中给出提示的动画过程和解答过程。

　　(E)突出和各学科的联系：如斜抛运动和行星运动等等。

　　(F)强调分层次的教学：

　　如在知识应用中的配置不同层次的例题和练习：

　　(2)网站导航图

高中数学的教学设计10

　　一、问题导入，引发探究

　　师：我在旅游时买回来一种磁性蛇蛋玩具（如图），所谓生活处处皆学问嘛，我把它运动过程中的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象：

　　两个全等的椭圆形卵，相互依偎旋转（动画）。你能通过所学解析几何知识，构造出这种有趣的现象吗？

　　二、实验探究，交流发现

　　探究1：卵之由来——椭圆的形成

　　（1）单个定椭圆的形成

　　椭圆的定义：平面内到两定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。（即若平面内的动点到两定点、的距离之和等于常数（大于），则点的轨迹为以、为焦点的椭圆。）

　　思考1：如何使为定值？

　　（不妨将两条线段的长度和转化为一条线段，即在线段的延长线上取点，使得，此时，为定值则可转化为为定值。）

　　思考2：若为定值，则点的轨迹是什么？定点与点轨迹的位置关系？

　　（以定点为圆心，为半径的圆。由于>，则点在圆内。）

　　思考3：如何确定点的位置，使得，且？

　　（线段的中垂线与线段的交点为点。）

　　揭示思路来源：（高中数学选修2—1P497）如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线l和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？

　　（设圆的半径为，由椭圆定义，（常数），且，所以当点在圆周上运动时，点的轨迹是以为焦点的椭圆。）

　　图形计算器作图验证：以圆与定点所在直线为轴，中垂线为轴建立直角坐标系，设圆半径，，即圆，点，则点轨迹是以以为焦点的椭圆，椭圆方程为。

　　（2）单个动椭圆的形成

　　思考4：构造一种动椭圆的方式

　　（由于椭圆形状不变，即离心率不变，而长轴长为定值，则也要为定值，因此可将圆内点取在圆的同心圆上，当点在圆上动时，即可得到动椭圆。）

　　图形计算器作图验证：当圆内动点取在圆的同心圆上，运动点，即得到动椭圆。

　　（3）两个椭圆的形成

　　观察两个椭圆相互依偎旋转的几个画面，分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于对称轴对称，且直线过两椭圆公共点，所以直线为两椭圆的公切线。

　　因而找到公切线，作椭圆关于切线的对称椭圆即可。

　　探究2：卵之所依——切线的判断与证明

　　线段的垂直平分线与椭圆的位置关系

　　（1）利用图形计算器中的“图象分析”工具直观判断与椭圆的位置关系、设圆上动点，则线段的中垂线的方程为，将动点的横坐标保存为变量，纵坐标保存为变量，随着点的改变，在Graphs中画出相应的动直线、用图形计算器中的“图象分析”工具找出椭圆所在区域内的直线与椭圆的交点，拖动点，动态观测交点个数的变化，发现无论点在何处，动直线与椭圆只有一个交点，因此判断直线与椭圆相切，并可求出该切点的坐标、也可以将椭圆方程与直线方程联立，用“代数”工具中的solve（）求出方程组的解，从而判断根的情况、

　　（2）证明椭圆与直线相切、

　　不妨设直线：，其中，，与椭圆方程联立，得，因此

　　，

　　将，，代入上式，用“代数”工具中的expand（）化简式子，得，所以椭圆与直线相切，切点为、

　　（3）证明由任意圆上的动点和圆内一点确定的椭圆与线段中垂线均相切（反证法）

　　因为椭圆是点的轨迹，而点是直线与线段中垂线的交点，所以点既在椭圆上，也在直线上。因此，直线与椭圆至少有一个公共点，即直线与椭圆相切或相交。

　　假设直线与椭圆相交，设另一个交点为（与不重合）、因为，所以；又因为，

　　所以为定值，而，矛盾、因此直线与椭圆相切。

　　探究3：两卵相依——对称旋转椭圆的形成与动画

　　当圆内动点取在圆的同心圆上，作椭圆关于切线的对称椭圆，运动点，隐藏相关坐标系与辅助圆等图形，呈现两卵相互依偎旋转的有趣效果。

　　改变一些问题条件，进行深入探究与发现。

　　探究4：改变点位置，探究点轨迹

　　（1）曲线判断：利用TI图形计算器作图分析，拖动点，当点在定圆内且不与圆心重合时，交点的轨迹是椭圆；当点在定圆外时，则，交点的轨迹是双曲线；当点与圆心重合时，点的轨迹是圆的'同心圆；当点在圆周上时，点的轨迹是是一点（圆心）、

　　（2）方程证明：圆，设点，可解得点的轨迹方程为

　　当或时，点的轨迹为圆心；

　　当且时，点的轨迹方程为

　　当时，点的轨迹为圆：；

　　当且时，点的轨迹为椭圆；

　　当或时，点的轨迹为双曲线。

　　探究5：改变切线位置，探究由切线得到的包络图形

　　查阅有关参考书籍，了解圆锥曲线的包络线，并利用图形计算器作出椭圆、双曲线的包络图形，自主探究抛物线的包络线（将定圆改为定直线）。

　　结论：所谓包络图，就是指有一条曲线按照一定运动规律运动，保留其所有瞬间位置的影像，会有一条曲线能够和该运动曲线所有位置相切，这条曲线就成为该运动曲线的包络线。

　　探究6：拓展延伸：椭圆切线的几个性质及其应用

　　性质1：是椭圆的两个焦点，若点是椭圆上异于长轴两端点的任一点，则点的切线平分的外角。

　　性质1′：点处的法线（过点且垂直于切线）平分。（即为椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上。）

　　课后探究：阅读数学选修2—1P75阅读与思考——圆锥曲线的光学性质及其应用，了解双曲线、抛物线的光学性质。

　　练习1：已知为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任一点，过焦点向作垂线，垂足为，则点的轨迹是_____________，轨迹方程是_______________。

　　解：（1）直观判断：作轨迹

　　（2）严谨证明：圆的定义

　　由此得到：

　　性质2：是椭圆的两个焦点，是长轴的两个端点，过椭圆上异于的任一点的切线，过做切线的垂线，垂足分别为，则在以长轴为直径的圆上。

　　练习2：已知为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任一点，直线与椭圆相切与点，且到的垂线长分别为，求证：为定值。

　　解：

　　（1）直观判断：作图

　　（2）严谨证明：利用性质2及圆的相交弦性质，

　　由此得到：

　　性质3：已知椭圆为，则焦点到椭圆任一切线的垂线长乘积等于。

　　课后探究2：已知为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任一点，直线过点，且到的垂线长分别为，则

　　①当时，直线与椭圆的位置关系；（相交）

　　②当时，直线与椭圆的位置关系。（相离）

　　（类比直线与圆位置关系的几何法，此为直线与椭圆位置关系的几何法）

　　课后探究：双曲线、抛物线的切线是否有类似性质？

高中数学的教学设计11

　　一、教材分析

　　本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修(一)》(人教版)第二章基本初等函数(1)2.2.2对数函数及其性质(第一课时)，主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。

　　二、学生学习情况分析

　　刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。

　　三、设计理念

　　本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

　　四、教学目标

　　1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型;

　　2.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点;

　　3.通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。

　　五、教学重点与难点

　　重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响.

　　六、教学过程设计

　　教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结

　　(一)熟悉背景、引入课题

　　1.让学生看材料：

　　材料1(幻灯)：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年，而且关节可以活动。人们最关注有两个问题，第一：怎么鉴定尸体的年份?第二：是什么环境使尸体未腐?其中第一个问题与数学有关。

　　图4—1 (如图4—1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前奇迹般地“复活”了)那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年?上面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p，利用t?logp 57302估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的`含量的取值，通过这个对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是p的函数;

　　如图4—2材料2(幻灯)：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个??，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个??，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即y?log2x;

　　图4—2 1.引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞).

　　1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别.如：注意：○ x2对数函数对底数的限制：(a?0，都不是对数函数.○5y?2log2x，y?log5且a?1).

　　3.根据对数函数定义填空;

　　例1 (1)函数y=logax的定义域是___________ (其中a>0,a≠1) (2)函数y=loga(4-x)的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理

　　解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止，以避免挖深、拓展、引入复合函数的概念。

　　[设计意图：新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手”。因此，新课引入不是按旧教材从反函数出发，而是选择从两个材料引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点] 2

　　(二)尝试画图、形成感知1.确定探究问题

　　教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题?学生1：对数函数的图象和性质

　　教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方

　　法吗?

　　学生2：先画图象，再根据图象得出性质

　　教师：画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类?学生3：按a?1和0?a?1分类讨论

　　教师：观察图象主要看哪几个特征?

　　学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图

　　教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象：步骤一：(1)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象y?log2xy?log1x 2 (2)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象y?log3xy?log1x 3步骤二：观察对数函数y?log2x、y?log3x与y?log1x、y?log1x的图象特23征，看看它们有那些异同点。

　　步骤三：利用计算器或计算机，选取底数a(a?0，且a?1)的若干个不同的值，

　　在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有哪些共同特征?

　　步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象

　　步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较2.学生探究成果

　　(1)如图4—3、4—4较为熟练地用描点法画出下列对数函数y?log2x、 y?log1x、 y?log3x、y?log1x的图象23图4—3图4—4 (2)如图4—5学生选取底数a=1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10，并推荐几位代表上台演示‘几何画板’，得到相应对数函数的图象。由于学生自己动手，加上‘几何画板’的强大作图功能，学生非常清楚地看到了底数a是如何影响函数y?logax(a?0，且a?1)图象的变化。

　　图4—5 (3)有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y = loga x (a>1)、y = loga x (0(中部)

高中数学的教学设计12

　　一、概述

　　教材内容:等比数列的概念和通项公式的推导及简单应用教材难点：灵活应用等比数列及通项公式解决一般问题教材重点：等比数列的概念和通项公式

　　二、教学目标分析

　　1. 知识目标

　　1）

　　2）掌握等比数列的定义理解等比数列的通项公式及其推导

　　2．能力目标

　　1）学会通过实例归纳概念

　　2）通过学习等比数列的通项公式及其推导学会归纳假设

　　3）提高数学建模的能力

　　3、情感目标：

　　1）充分感受数列是反映现实生活的.模型

　　2）体会数学是来源于现实生活并应用于现实生活

　　3）数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的

　　三、教学对象及学习需要分析

　　1、教学对象分析：

　　1）高中生已经有一定的学习能力，对各方面的知识有一定的基础，理解能力较强。并掌握了函数及个别特殊函数的性质及图像，如指数函数。之前也刚学习了等差数列，在学习这一章节时可联系以前所学的进行引导教学。

　　2）对归纳假设较弱，应加强这方面教学

　　2、学习需要分析：

　　四. 教学策略选择与设计

　　1.课前复习

　　1）复习等差数列的概念及通向公式

　　2）复习指数函数及其图像和性质

　　2．情景导入

高中数学的教学设计13

　　提出问题：

　　新课程认为知识不是单方面通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（教师指导和同学的帮助）协作，主动建构而获得的。它强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。通过多年教学实践和对新课程的认识,我认为若遵循这个原则进行数学课堂教学，学生的学习将是一种高效的活动。

　　教材中的地位：

　　本节内容是在指数范围扩充到实数的基础上引入指数函数的，而指数函数是高中研究的第一种具体函数。是在初中已经初步探讨了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数的图像和性质的基础上，在进一步学习了函数的概念及有关性质的前提下，去研究学习的。重点是指数函数的图像及性质，难点在于弄清楚底数a对于函数变化的影响。这节课主要是学生利用描点法画出函数的图像，并描述出函数的图像特征，从而指出函数的性质。使学生从形到数的熟悉，体验研究函数的过程与思路，实现意识的深化。

　　设计背景：

　　在新教材的教学中，我慢慢体会到新教材渗透的、螺旋式上升的基本理念，知识点的形成过程经历从具体的实例引入，形成概念，再次运用于实际问题或具体数学问题的过程，它的应用性，实用性更明显的体现出来。学数学重在培养学生的思维品质，经过多年的数学学习，学生还是害怕学数学，尤其高中的数学，它对于学生来说显得很抽象。所以如果再让让学生感到数学离我们的生活太远，那么将很难激发他们的学习爱好。所以在教学中我尽力抓住知识的本质，以实际问题引入新知识。另外，就本章来说，指数函数是学习函数概念及基本性质之后研究的第一个重要的函数，让学生学会研究一个新的具体函数的方法比学会本身的知识更重要。在这个过程中，所有的知识都是生疏的，在大脑中没有形成基本的框架结构，需要老师的引导，使他们逐渐建立。数学中任何知识的形成都体现出它的思想与方法，因而授课中注重让学生领悟其中的思想，运用其中的方法去学习新的知识，是非常重要的。

　　教学目标：

　　一、知识：

　　理解指数函数的定义，能初步把握指数函数的图像，性质及其简单应用。

　　二、过程与方法：

　　由实例引入指数函数的概念，利用描点作图的方法做出指数函数的图像，（有条件的话借助计算机演示验证指数函数图像）由图像研究指数函数的性质。利用性质解决实际问题。

　　三、能力：

　　1．通过指数函数的图像和性质的研究，培养学生观察，分析和归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。

　　2．通过对指数函数的研究，使学生能把握函数研究的基本方法。

　　教学过程：

　　由实际问题引入：

　　问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，?1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的个数y与x之间的关系是什么？

　　分裂次数与细胞个数

　　1，2；2，2×2=22；3，2×2×2=23；????；x，2×2×……×2=2x

　　归纳：y=2x

　　问题2：某种放射性物质不断变化为其它物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，那么经过x年后剩留量y与x的.关系是什么？

　　经过1年，剩留量y=1×84%=；经过2年，剩留量y=×=?经过x年，剩留量y=

　　寻找异同：

　　你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？

　　共同点：变量x与y构成函数关系式，是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数；不同点：底数的取值不同。

　　那么，今天我们来学习新的一个基本函数：指数函数

　　得到指数函数的定义：定义：形如y=ax（a>0且a≠1）的函数叫做指数函数。

　　在以前我们学过的函数中，一次函数用形如y=kx+b（k≠0）的形式表示，反比例函数用形如y=k/x（k≠0）表示，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)表示。对于其一

　　般形式上的系数都有相应的限制。问：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？若a=0，当x>0时，恒等于0，没有研究价值；当x≤0时，无意义。

　　若a

　　若a=1，则=1,是一个常量，也没有研究的必要。

　　所以有规定且a>0且a≠1。

　　由定义，我们可以对指数函数有一初步熟悉。

　　进一步理解函数的定义：

　　指数函数的定义域：在我们学过的指数运算中，指数可以是有理数，当指数是无理数时，也是一个确定的实数，对于无理数，学过的有理指数幂的性质和运算法则都适用，所以指数函数的定义域为R。

　　研究函数的途径：由函数的图像的性质，从形与数两方面研究。

　　学习函数的一个很重要的目标就是应用，那么首先要对函数作一研究，研究函数的图像及性质，然后利用其图像性质去解决数学问题和实际问题。根据以往的经验，你会从那几个角度考虑？（图像的分布范围，图像的变化趋势）图像的分布情况与函数的定义域，值域有关，函数的变化趋势体现函数的单调性。引导学生从定义域，值域，单调性，奇偶性，与坐标轴的交点情况着手开始。

　　首先我们做出指数函数的图像，我们研究一般性的事物，常用的方法是：由特殊到一般。

　　我们以具体函数入手，让学生以小组形式取不同底数的指数函数画它们的图像，将学生画的函数图像展示，（画函数的图像的步骤是：列表，描点，连线。）。最后，老师在黑板（电脑）上演示列表，描点，连线的过程，并且，画出取不同的值时，函数的图像。

　　要求学生描述出指数函数图像的特征，并试着描述出性质。

　　数学发展的历史表明，每一个重要的数学概念的形成和发展，其中都有丰富的经历，新课程较好的体现了这点。对新课程背景下的学生而言，数学的知识应该是一个数学化的过程，即通过对常识材料进行细致的观察、思考，借助于分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，对常识材料进行去粗取精、去伪存真的精加工。该案例正是从数学研究和数学实验的过程中进行设计。虽然学生的思维不一定真实的重演了人类对数学知识探索的全过程，但确确实实通过实验、观察、比较、分析、归纳、抽象、概括等思维活动，在探索中将数学数学化，从而才使学生对数学学习产生了乐趣，对数学的研究方法有了一定的了解。

　　虽然学生要学的数学是历史上前人已建构好了的，但对他们而言，仍是全新的、未知的，需要用他们自己的学习活动来再现类似的过程。该案例正是从创设问题情景作为教学设计的重要的内容之一。教师应该把教学设计成学生动手操作、观察猜想、揭示规律等一系列过程，侧重于学生的探索、分析与思考，侧重于过程的探究及在此过程中所形成的一般数学能力。

　　教师的地位应由主导者转变为引导者，使教学活动真正成为学生的活动。在教学过程中，把学习的主动权交给学生，在时间和空间上保证学生在教师的指导下，学生能自己独立自主的探究学习。使教学活动始终处于学生的“最近发展区”，使每一个学生通过自己的努力，在自己原有的基础上都有所获，都有提高。总之，通过案例研究，不断研究新教材、新理念，不断调整教学策略优化课堂教学，培养学生探究学习与创新学习能力将是我们在数学教学中要继续探究的课题。

高中数学的教学设计14

　　一、课程说明

　　（一）教材分析：

　　此次一对一家教所使用教材为北师大版高中数学必修5。辅导内容为第一章第二节等差数列。前一节的内容为数列，学生已初步了解到数列的概念，知道什么是首项，什么是通项等等。以及了解到什么是递增数列，什么是递减数列。通过第一节的学习的铺垫，可以让学生更自主的探究，学习等差数列。而我也是在这些基础上为她讲解第二节等差数列。

　　（二）学生分析：

　　此次所带学生是一名高二的学生。聪明但是不踏实，做题浮躁。基础知识掌握不够牢靠，知识的运用能力较差，分析能力较弱，解题思路不清。每次她遇到会的题，就快快的草率做完，总会有因马虎而犯的错误。遇到稍不会的，总是很浮躁，不能冷静下来慢慢思考。就由略不会变成不会。但她也是个虚心听教的孩子，给她讲课，她也会很认真地听讲。

　　（三）教学目标：

　　1、通过教与学的配合，让她能够懂得什么是等差数列，以及等差数列的通项公式。

　　2、通过对公式的推导，让她加深对内容的理解，以及学会自己对公式的推导。并且能够灵活运用。

　　3、在教学中让她通过对公式的推导来明白推理的艺术，并且培养她学习，做题条理清晰，思路缜密的好习惯。

　　4、让她在学习，做题中一步步抽丝剥茧，寻找解决问题的方法，培养她敢于面对数学学习中的困难，并培养她对克服困难和运用知识。耐心地解决问题。

　　5、让她在学习中发现数学的独特的美，能够爱上数学这门课。并且认真对待，自主学习。

　　（四）教学重点

　　1让学生正确掌握等差数列及其通项公式，以及其性质。并能独立的推导。

　　2、能够灵活运用公式并且能把相应公式与题相结合。

　　（五）教学难点：

　　1、让学生掌握公式的推导及其意义。

　　2如何把所学知识运用到相应的题中。

　　二、课前准备

　　（一）教学器材

　　对于一对一教教采用传统讲课。一张挂历。

　　（二）教学方法

　　通过对生活中的有规律数据的观察来提出问题，让学生结合前一节所学，思考有什么规律。从生活中着手有利于激发学生的兴趣爱好，并能更积极地学习。让学生先独立的思考，不仅能让她对所学知识映像更为深刻，并且培养她的缜密思维。让她回答后，我再帮助她纠正，并且让她提出心中所虑。经过我给她讲完课后，让她回答自己先前的疑虑。并且让她自己总结，得出结论。最后让她勤加练习。以一种“提出问题—探究问题—学习知识—解答问题—得出结论—强加训练”的模式方法展开教学。

　　（三）课时安排

　　课时大致分为五部分：

　　1、联系实际提出相关问题，进行思考。

　　2以我教她学的模式讲授相关章节知识。

　　3、让学生练习相关习题，从所学知识中找其相应解题方案。

　　4学生对知识总结概括，我再对其进行补充说明。 5布置作业，让她课后多做练习。

　　三、课程设计

　　（一）提出问题

　　【引入】

　　根据我们的.挂历上，一个月的日期数。通过观察每一行日期和每一列日期它们有什么规律？

　　思考 1 2 3 13579......246810......66666......

　　这些每一行有什么规律？

　　（二）分析问题并讲解

　　1、通过观察每一个数与前一个数相差为同一个常数。再结合前一节所学数列的定义总结出“每一项与前一项的差为同一个常数，我们称这样的数列为等差数列。”并且得出“这个常数为等差数列的公差。”

　　2、设首项为 a1 ，公差为d。由思考题 1 2 3可观察出什么？由学生通过她的发现来推导总结出

　　ana1n1dnda1d

　　3、通过分析通项公式的特点，做下题（学生自己分析，思考来做。）例：已知在等差数列{an}中，a520a20xx，试求出数列的通项公式？

　　通过学生做题再分析总结，用详细的语言讲解总结等差数列的性质

　　4、由以上公式，性质，让学生总结。

讲解等差数列的定义。并且掌握数列的递增，递减与公差d的关系。

5总结，串讲当日所学

　　给出题目：12349899100 让她求其和Sn，并思考如何快速计算？

　　（三）布置作业

　　1、总结当日所学。 2做练习册上章节习题。

　　3、根据当日所学以及课上所讲求的思考题，找出快速运算方法，并引导预习等差数列前n项和。

　　四、设计理念

　　以一种最简便，易懂的方式让学生来学习，一切以让学生正确掌握知识，并能正确运用为理念。并能充分调动学生和家教老师的积极性为理念来设计。

　　五、教学设计反思

　　本节课教程内容较难，是下一节等差数列前n项和的铺垫。此节课学习通过联系实际，把数学融入到生活中，从生活中探究学习数学。并提出问题，分析问题。把主动权交给学生，由她先独立思考总结，再由我给她正确讲解总结，然后再让她做相应练习题，课后再认真总结。这样可以加强她学习的主动性，更有利于她对知识的消化，吸收。这种方法同时可以培养学生的思维能力，让她从自主学习中探索适合自己的学习方法，培养她独立思考的能力。让她更深刻的了解知识内涵，巩固所学。使她能灵活运用所学。